Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

     Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, όπως π.χ. να γενικεύσει τον ορισμό της παραλληλότητας καθώς και διαφόρων άλλων μαθηματικών εννοιών, όπως αυτές ορίζονται στην Ευκλείδειο Γεωμετρία.

     Τα βασικά σημεία της Γενικευμένης Γεωμετρίας, είναι τα εξής:

1. Η έννοια της παραλληλότητας (όπως αυτή ορίζεται στην Ευκλείδειο Γεωμετρία) στη Γενικευμένη Γεωμετρία, επεκτείνεται και συμπεριλαμβάνει οποιοδήποτε σημειοσύνολο, (σημείο, σχήμα, κ.λ.π.).
Ετσι π.χ. μερικές αδυναμίες της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι οι εξής:

• Εάν υποθέσουμε ότι, π.χ. στο επίπεδο, έχουμε ένα σημείο Α και ένα άλλο σημείο Μ εκτός αυτού, τότε σύμφωνα με την Ευκλείδειο Γεωμετρία, δεν υπάρχει ο τρόπος με τον οποίο, από το σημείο Μ να φέρουμε παράλληλο προς το σημείο Α.
• Εάν υποθέσουμε ότι, π.χ. στο επίπεδο, έχουμε ένα τρίγωνο ABC και ένα σημείο Μ εκτός αυτού, τότε σύμφωνα με την Ευκλείδειο Γεωμετρία, δεν υπάρχει ο τρόπος με τον οποίο από το σημείο Μ να φέρουμε παράλληλο προς το τρίγωνο ABC.
• Ας υποθέσουμε ότι, π.χ. στο επίπεδο, έχουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ και ένα σημείο Μ εκτός αυτού.

     Τότε, όπως είναι γνωστό, σύμφωνα με την Ευκλείδειο Γεωμετρία, από το σημείο Μ, φέρεται μία και μόνο μία παράλληλος προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ (το γνωστό μας Ευκλείδειο αίτημα). Αντίθετα όμως, σύμφωνα με τη Γενικευμένη Γεωμετρία, από το σημείο Μ, φέρονται άπειρες παράλληλες προς το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ.
     Εκτός από τις παραπάνω αυτές τρεις περιπτώσεις (a), (b) και (c), μπορούμε να αναφέρουμε και πολλές άλλες περιπτώσεις αδυναμιών της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, σε ότι αφορά την έννοια της παραλληλότητας.
     Συνεπώς, όπως θα δούμε αμέσως παρακάτω, η έννοια της παραλληλότητας, όπως αυτή ορίζεται στην Ευκλείδειο Γεωμετρία, είναι μία μερική περίπτωση της έννοιας της παραλληλότητας, όπως αυτή ορίζεται στη Γενικευμένη Γεωμετρία.

2. Όπως είναι γνωστό, στην Ευκλείδειο Γεωμετρία, οι κορυφές των διαφόρων γεωμετρικών σχημάτων (π.χ. τριγώνου, τετράπλευρο, κ.λ.π.) είναι γεωμετρικά σημεία, (ήτοι, είναι μονομελή σημειοσύνολα).
     Αντίθετα, στη Γενικευμένη Γεωμετρία, οι κορυφές των διαφόρων γεωμετρικών σχημάτων, μπορούν να είναι διάφορα σημειοσύνολα (ευθείες, περιφέρειες κύκλων, ευθύγραμμα τμήματα, κ.λ.π.). Τα γεωμετρικά αυτά σχήματα θα τα ονομάζουμε, γενικευμένα γεωμετρικά σχήματα, π.χ. γενικευμένο τρίγωνο, γενικευμένο τετράγωνο, κ.λ.π.
     Συνεπώς, τα γνωστά μας γεωμετρικά σχήματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας, είναι μια μερική περίπτωση των γενικευμένων γεωμετρικών σχημάτων της Γενικευμένης Γεωμετρίας.

3. Όπως θα δούμε παρακάτω, η Γενικευμένη Γεωμετρία, προβαίνει σε μια επέκταση των γνωστών Ευκλείδειων και μη Ευκλείδειων χώρων.

 Συνεπώς, οι γνωστοί μας Ευκλείδεια και μη Ευκλείδειοι χώροι, είναι μια μερική περίπτωση των Γενικευμένων Ευκλείδειων και μη Ευκλείδειων χώρων της Γενικευμένης Γεωμετρίας.

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΤΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ
Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ
ΟΡΙΣΜΟΙ – ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

Όπως αναφέραμε παραπάνω, ο «ακρογωνιαίος λίθος» της Γενικευμένης Γεωμετρίας, είναι ο νέος ορισμός της έννοιας της παραλληλότητας.
Ο ορισμός αυτός, έχει ως εξής:
ΟΡΙΣΜΟΣ: Δύο οποιαδήποτε σημειοσύνολα Α και Β (στο επίπεδο ή στο χώρο) και σε οποιονδήποτε χώρο (Ευκλείδειο ή μη Ευκλείδειο) είναι παράλληλα, τότε και μόνο τότε, όταν, κάθε σημείο του σημειοσυνόλου Α απέχει από το σημειοσύνολο Β την ίδια απόσταση d και αντιστρόφως, κάθε σημείο του σημειοσυνόλου Β απέχει από το σημειοσύνολο Α την ίδια επίσης απόσταση d.
Τα σημειοσύνολα Α και Β μπορούν να είναι οτιδήποτε σημειοσύνολα (μονομελή, πολυμελή, συνεκτικά, μη συνεκτικά, ανοικτά, κλειστά, συμπαγή, κ.λ.π.).
Ο παραπάνω αυτός νέος ορισμός της παραλληλότητας, συμπληρώνει πολλά «κενά» της Ευκλείδειας Γεωμετρίας και παίζει, βασικότατο ρόλο στην όλη δομή της Γενικευμένης Γεωμετρίας.

ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΗΜΕΙΟΣΥΝΟΛΩΝ

Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, τα σημειοσύνολα χωρίζονται στις παρακάτω τρεις κατηγορίες:

1. Παράλληλα σημειοσύνολα.

2. Τεμνόμενα σημειοσύνολα.

3. Ασύμβατα σημειοσύνολα.

Ορισμός Ι: Δύο σημειοσύνολα Α και Β είναι παράλληλα, όταν γι’ αυτά ισχύει ο ορισμός των παραλλήλων σημειοσυνόλων που αναφέραμε παραπάνω.

Ορισμός ΙΙ: Δύο σημειοσύνολα Α και Β είναι τεμνόμενα, όταν έχουν τουλάχιστο ένα κοινό σημείο. (Σημείωση: Στη Γενικευμένη Γεωμετρία τα εφαπτόμενα σημειοσύνολα, είναι τεμνόμενα σημειοσύνολα, σύμφωνα με τον ορισμό αυτό).

Ορισμός ΙΙΙ: Δύο σημειοσύνολα Α και Β είναι ασύμβατα, όταν δεν έχουν κανένα κοινό σημείο και δεν είναι παράλληλα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Α. Παράλληλα σημειοσύνολα, είναι:
   1. Δύο σημεία Α και Β του επιπέδου, σχ. 1.

σχ. 1

 2. Τα άκρα Α και Β, ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, σχ. 2

σχ. 2

 3. Το κέντρο Α ενός κύκλου και η περιφέρεια του Β, σχ. 3

σχ. 3

 4. Οι απέναντι πλευρές ΑΒ και CD ενός τετραγώνου ABCD, σχ. 4

σχ. 4

 5. Οι περιφέρειες Α και Β δύο ομοκέντρων κύκλων, σχ. 5

σχ. 5

 6. Οι επιφάνειες Α και Β δύο ομοκέντρων σφαιρών, σχ. 6

σχ. 6

 7. Δύο παράλληλες ευθείες Α και Β του επιπέδου, σχ. 7

σχ. 7

8. Οι τρεις κορυφές Α, Β, C ενός ισοπλεύρου τριγώνου ΑΒC, είναι μεταξύ τους παράλληλες, σχ. 8

σχ. 8

9. Στα παρακάτω σχήματα, τα σημειοσύνολα Α και Β είναι παράλληλα μεταξύ τους, σχ. 9

σχ. 9 

Και διάφορα άλλα πολλά παράλληλα σημειοσύνολα Α και Β, που μπορούμε να αναφέρουμε.

Β. Τεμνόμενα σημειοσύνολα.

 1. Δύο αλληλοκαλυπτόμενα συμπαγή σημειοσύνολα Α και Β , σχ. 10

σχ. 10

 2. Οι περιφέρειες Α και Β δύο τεμνόμενων ή εφαπτόμενων κύκλων, σχ. 11

σχ. 11

  3. Δύο τεμνόμενες ευθείες Α και Β, σχ. 12

σχ. 12

4. Το κάλυμμα C ενός κλειστού ευθύγραμμου τμήματος [ΑΒ] και το σημείο Α, σχ. 13

σχ. 13

 5. Το κάλυμμα C ενός κύκλου και το σύνορο του (η περιφέρειά του) Β, σχ. 14

σχ. 14

6. Στον άξονα ox των πραγμάτων αριθμών το κλειστό διάστημα Α = [1,10] και το κλειστό διάστημα Β = [4,15], σχ. 15

σχ. 15

Και διάφορα άλλα πολλά τεμνόμενα σημειοσύνολα, που μπορούμε να αναφέρουμε.

C. Ασύμβατα σημειοσύνολα, είναι:

 1. Στο επίπεδο μία ευθεία Α και ένα σημείο Β , εκτός αυτής, σχ. 16

σχ. 16

2. Στο επίπεδο οι απέναντι πλευρές ΑΒ και CD ενός παραλληλογράμμου ABCD, σχ. 17.
(Σημείωση: Στην Ευκλείδειο Γεωμετρία οι πλευρές ΑΒ και CD θεωρούνται παράλληλες, ενώ σύμφωνα με τον ορισμό της παραλληλότητας της Γενικευμένης Γεωμετρίας, οι πλευρές ΑΒ και CD δεν είναι παράλληλες).

σχ. 17

 3. Στο επίπεδο, η περιφέρεια Α μιας έλλειψης και μία εστία Β αυτής, σχ. 18

σχ. 18

 4. Το σύνορο (η περιφέρεια) Α ενός κύκλου και το εσωτερικό του Β, σχ. 19

σχ. 19

5. Στον άξονα του ox πραγμάτων αριθμών το κλειστό διάστημα Α = [5,8] και το σύνολο Β, όλων των όρων της ακολουθίας a_n=5n-1, σχ. 20

6. Δύο όμοια τρίγωνα Α και Β, σχ. 21

σχ. 21

Και άλλα πολλά παραδείγματα, ασύμβατων συνόλων που μπορούμε να αναφέρουμε.

ΤΟ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΗΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Το θεμελιώδες θεώρημα της Γενικευμένης Γεωμετρίας, έχει ως εξής:

ΘΕΩΡΗΜΑ Από ένα σημείο Μ, το οποίο βρίσκεται εκτός ενός σημειοσυνόλου Α ή δεν φέρεται ποτέ καμία παράλληλος (Ν = 0) ή φέρεται μία και μόνο μία (Ν = 1) ή φέρονται άπειρες παράλληλες (Ν= ), προς αυτό.

Απόδειξη

Ας πάρουμε το σύνολο S όλων των σημειοσυνόλων. Τότε, σύμφωνα με τον ορισμό των παραλλ ήλων σημειοσυνόλων που αναφέραμε στα προηγούμενα:

1. Υπάρχουν σημειοσύνολα, στα οποία δεν μπορούμε ποτέ να φέρουμε παράλληλο προς αυτά από ένα σημείο Μ.
(π.χ. όταν το σημείο Μ βρίσκεται στο εσωτερικό (κυρτό) μέρος μιας γωνίας του επιπέδου) και διάφορα άλλα παραδείγματα.

2. Υπάρχουν σημειοσύνολα, στα οποία μπορούμε να φέρουμε, μία και μόνο μία παράλληλο προς αυτά από ένα σημείο Μ.
(π.χ. όταν στο επίπεδο, το σημείο Μ βρίσκεται εκτός μίας ευθείας xx’ , (το γνωστό αίτημα του Ευκλείδη)) και διάφορα άλλα παραδείγματα.

3. Υπάρχουν σημειοσύνολα στα οποία μπορούμε να φέρουμε άπειρες παράλληλες προς αυτά από ένα σημείο Μ.
(π.χ. όταν στο επίπεδο το σημείο Μ βρίσκεται εκτός, ενός σημείου Α, οπότε στη περίπτωση αυτή (σύμφωνα με τα γνωστά), τα άπειρα τόξα κύκλου, ο οποίος γράφεται με κέντρο το σημείο Α και ακτίνα R = (MA) είναι παράλληλες προς το σημείο Α).

Συνεπώς, μετά τα παραπάνω, καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι, υπάρχουν σημειοσύνολα, τα οποία δεν δέχονται ποτέ καμία παράλληλο (Ν = 0), υπάρχουν σημειοσύνολα τα οποία δέχονται μία και μόνο μία παράλληλο (Ν = 1) και τέλος υπάρχουν σημειοσύνολα, τα οποία δέχονται άπειρες παράλληλες (N=).

Θα αποδείξουμε τώρα ότι:
Ένα σημειοσύνολο Α από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται εκτός αυτού, όταν δέχεται περισσότερες από μία παράλληλες (Ν > 1 ) τότε θα δέχεται άπειρες παράλληλες (N=).
Ας υποθέσουμε σχ. 22, ότι στο επίπεδο έχουμε ένα σημειοσύνολο Α, (π.χ. μία ημικαμπύλη ox), το οποίο από ένα σημείο Μ που βρίσκεται εκτός αυτού, δέχεται περισσότερες από μία παράλληλες, (Ν > 1).

σχ. 22

Αφού λοιπόν, το σημειοσύνολο Α δέχεται περισσότερες από μία (Ν > 1) παράλληλες θα δέχεται υποχρεωτικά, τουλάχιστον δύο (Ν = 2), παράλληλες.
Έστω λοιπόν, ότι η μία παράλληλος είναι η ημικαμπύλη B₁x’ και η δεύτερη παράλληλος είναι η ημικαμπύλη B₂x’ .
Στην περίπτωση αυτή, επειδή οι δύο παράλληλες B₁x’ και B₂x’ είναι διαφορετικές (δηλαδή δεν ταυτίζονται), τότε η μία παράλληλος είναι υποσύνολο της άλλης παραλλήλου.
Συνεπώς θα υπάρχει ένα σημειοσύνολο S = (B₂B₁) το οποίο θα ανήκει στη παράλληλο B₂x’ και δεν θα ανήκει στην παράλληλο B₁x’.
Επειδή όμως, το σημειοσύνολο S, αποτελείται από άπειρα σημεία  τα οποία ανήκουν στην παράλληλο , αυτό συνεπάγεται ότι, από το σημείο Μ φέρονται άπειρες παράλληλες προς το σημειοσύνολο Α, ήτοι οι παράλληλες
Συνεπώς, από το σημείο Μ, όταν φέρονται περισσότερες από μία (Ν > 1), παράλληλες, τότε θα φέρονται υποχρεωτικά άπειρες παράλληλες προς το σημειοσύνολο Α.
Άρα λοιπόν, μετά τα παραπάνω αποδείχθηκε το δοθέν θεώρημα, ήτοι:
Από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται εκτός ενός σημειοσύνολου Α, ή δεν φέρεται ποτέ καμία παράλληλος (Ν = 0) ή φέρεται μία και μόνο μία παράλληλος (Ν = 1) ή φέρονται άπειρες παράλληλες (N=) , προς αυτό.
Επίσης, άμεση συνέπεια του θεωρήματος αυτού, είναι το θεώρημα, ότι:
ΘΕΩΡΗΜΑ: Από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται εκτός ενός σημειοσυνόλου Α δεν μπορούμε ποτέ να φέρουμε ένα συγκεκριμένο αριθμό Ν παραλλήλων, όπου Ν = ακέραιος και θετικός αριθμός (Ν > 1).
Μετά τα παραπάνω, μπορούμε τώρα να διατυπώσουμε τα παρακάτω θεωρήματα, οι αποδείξεις των οποίων είναι πολύ απλές:
ΘΕΩΡΗΜΑ: Στο επίπεδο από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται στο εσωτερικό, ενός κυρτού ευθυγράμμου σχήματος (π.χ. εντός πενταγώνου), δεν φέρεται ποτέ παράλληλος (Ν = 0) προς την περίμετρό του.
ΘΕΩΡΗΜΑ: Στο επίπεδο από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται εκτός (στο μη κυρτό μέρος) μιας γωνίας , φέρεται μία και μόνο μία (Ν = 1) παράλληλος Α προς αυτή, σχ. 23.

σχ. 23

ΘΕΩΡΗΜΑ: Στο επίπεδο από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται εκτός ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ φέρονται άπειρες παράλληλες (N=)  προς αυτό, ήτοι οι παράλληλες A₁x, A₂x, A₃x, A₄x,, σχ. 24. Από τις άπειρες αυτές παράλληλες, μόνο μία είναι κλειστή παράλληλος η C και καμία άλλη. σχ. 25.
ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στο θεώρημα αυτό φαίνεται καθαρά η διαφορά μεταξύ της Ευκλείδειας και της Γενικευμένης Γεωμετρίας, διότι σύμφωνα με την Ευκλείδεια Γεωμετρία, από ένα σημείο Μ που βρίσκεται, εκτός ενός ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, φέρεται μία και μόνο μία παρ άλληλος προς αυτό (το γνωστό αίτημα του Ευκλείδη). Αντίθετα όμως, στη Γενικευμένη Γεωμετρία το αίτημα αυτό του Ευκλείδη για το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ δεν ισχύει.

σχ. 24

σχ. 25

και διάφορα άλλα πολλά θεωρήματα που μπορούμε να αναφέρουμε.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Δίδεται στο χώρο μια ευθεία xx’ και ένα σημείο Μ εκτός αυτής, το οποίο απέχει από την ευθεία xx’ απόσταση d. Στη περίπτωση αυτή, από το σημείο Μ, φέρονται άπειρες παράλληλες (N=), προς την ευθεία xx’. Οι άπειρες αυτές παράλληλες (επιφάνειες) είναι υποσύνολα της κλειστής επιφάνειας του κυλίνδρου, ο οποίος έχει άξονα την ευθεία xx’ και ακτίνα R = d.

2. Από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται εντός μιας κωνικής (κύκλου, έλλειψης, παραβολής, υπερβολής), μπορεί να φέρεται αλλά μπορεί και να μην φέρεται παράλληλος προς αυτή. Αυτό εξαρτάται από την απόσταση d του σημείου Μ από την περιφέρειά τους (το σύνορό τους).

3. Από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται στο εσωτερικό ενός κύβου, πυραμίδος, τετραέδρου, κ.λ.π. δεν φέρεται ποτέ παράλληλος προς την επιφάνειά τους.

4. Στο επίπεδο από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται εκτός, ενός συμπαγούς σημειοσυνόλου (π.χ. δίσκου S) δεν φέρεται ποτέ παράλληλος προς το κάλυμμά του ή το εσωτερικό του. Ενώ αντίθετα, (όταν φέρεται), φέρεται μία και μόνο μία παράλληλο προς το σύνορό του C η οποία είναι πάντοτε κλειστή παράλληλος, σχ. 26.

σχ. 26

5. Σε ένα κανονικό τετράεδρο ABCD, η κάθε κορυφή του, είναι παράλληλος προς το σημειοσύνολο των υπολοίπων τριών άλλων κορυφών του, σχ. 26 (α)

σχ. 26 (α)

6. Δύο τοπολογικές επιφάνειες Α και Β διαφορετικού γένους n δεν μπορεί ποτέ να είναι παράλληλες μεταξύ τους, σχ. 27.

σχ. 27

7. Στο επίπεδο δύο όμοια ευθύγραμμα σχήματα Α και Β, δεν μπορεί ποτέ να είναι παράλληλα μεταξύ τους. π.χ. δύο όμοια τρίγωνα Α και Β, σχ. 28

σχ. 28

και διάφορα άλλα πολλά παραδείγματα που μπορούμε να αναφέρουμε.

Επίσης, ένα πολύ ενδιαφέρον πρόβλημα της Γενικευμένης Γεωμετρίας είναι, το εξής:

ΠΡΟΒΛΗΜΑ

Δίδεται στο επίπεδο, σχ. 28 (a) μία λεία και συνεχής καμπύλη C, με άκρα Α και Β.
Ζητείται να βρεθεί ποια είναι η μέγιστη απόσταση d_max ενός σημείου Μ του επιπέδου, που βρίσκεται εκτός της καμπύλης C από το οποίο μπορούμε να φέρουμε τη κλειστή παράλληλο προς την καμπύλη C.

σχ. 28 (a)

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

Ας πάρουμε για λόγους απλότητας την Ευκλείδεια Γεωμετρία του Επιπέδου.
Όπως είναι γνωστό, στην Ευκλείδεια Γεωμετρία ένα ευθύγραμμο σχήμα (κυρτό), ορίζεται από τις κορυφές του Α, Β, Γ, Δ, …. Ν, οι οποίες είναι σημεία, δηλαδή μονομελή σημειοσύνολα.
Αντίθετα, στη Γενικευμένη Γεωμετρία, οι κορυφές των γενικευμένων ευθύγραμμων γεωμετρικών σχημάτων, μπορούν να είναι οποιοδήποτε σημειοσύνολο π.χ. μονομελές, πολυμελές, συνεκτικό, μη συνεκτικό, συμπαγές, μη συμπαγές, κ.λ.π.

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

Ας λάβουμε π.χ. στο επίπεδο τρία σημειοσύνολα, ήτοι μία έλλειψη Α, ένα ευθύγραμμο τμήμα Β και μία παραβολή C, τα οποία είναι ασύμβατα μεταξύ τους.
Στη Γενικευμένη Γεωμετρία τα τρία αυτά σημειοσύνολα Α, Β, C ορίζουν, ένα γενικευμένο τρίγωνο ABC, με πλευρές a, b, c σχ. 29.

σχ. 29

Στο σχ. 30 βλέπουμε διάφορα γενικευμένα τρίγωνα ABC με τις πλευρές τους a, b, c.

σχ. 30

ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΕΝΟΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

Τα στοιχεία ενός γενικευμένου τριγώνου ABC, είναι αντίστοιχα, με τα στοιχεία ενός Ευκλείδειου τριγώνου.
Αναλυτικά, τα στοιχεία αυτά είναι τα εξής:

1. Πλευρές, σχ. 31

1. Η απόσταση μεταξύ των σημειοσυνόλων (κορυφών) Α και Β , ορίζουν την πλευρά c.
2. Η απόσταση μεταξύ των κορυφών B και C, ορίζουν την πλευρά a.
3. Η απόσταση μεταξύ των κορυφών C και Α, ορίζουν την πλευρά b.

σχ. 31

2. Διάμεσοι, σχ. 32

1. Η απόσταση από την κορυφή Α και το μέσον Μ₁ της πλευράς a, ορίζουν την διάμεσο μ_a.
2. Η απόσταση από την κορυφή Β και το μέσον Μ₂ της πλευράς b, ορίζουν την διάμεσο μ_b.
3. Η απόσταση από την κορυφή C και το μέσον Μ₃ της πλευράς c, ορίζουν την διάμεσο μ_c.

σχ. 32

3. Ύψη, σχ. 33

1. Η απόσταση από την κορυφή Α και την ευθεία που ορίζεται από την πλευρά a, είναι το ύψος U_a.
2. Η απόσταση από την κορυφή B και την ευθεία που ορίζεται από την πλευρά b, είναι το ύψος U_b.
3. Η απόσταση από την κορυφή C και την ευθεία που ορίζεται από την πλευρά c, είναι το ύψος U_c.

σχ. 33

4. Γωνίες, σχ. 34

1. Η προέκταση των πλευρών b και c, ορίζουν την γωνία της κορυφής .
2. Η προέκταση των πλευρών c και a , ορίζουν την γωνία της κορυφής .
3. Η προέκταση των πλευρών a και b, ορίζουν την γωνία της κορυφής .

σχ. 34

5. Διχοτόμοι, σχ. 35

1. Το ευθύγραμμο τμήμα, που κείται επί της διχοτόμου της γωνίας και περιέχεται μεταξύ της κορυφής Α και της ευθείας που ορίζεται από την πλευρά a , είναι η διχοτόμος δ_a.
2. Το ευθύγραμμο τμήμα, που κείται επί της διχοτόμου της γωνίας και περιέχεται μεταξύ της κορυφής Β και της ευθείας που ορίζεται από την πλευρά b, είναι η διχοτόμος δ_b.
3. Το ευθύγραμμο τμήμα, που κείται επί της διχοτόμου της γωνίας και περιέχεται μεταξύ της κορυφής C και της ευθείας που ορίζεται από την πλευρά ac, είναι η διχοτόμος δ_c.

σχ. 35

6. Εμβαδόν, σχ. 36

Το χωρίο το οποίο περιέχεται μεταξύ των κορυφών Α, Β, C και των πλευρών a, b, c είναι το εμβαδόν Ε.

σχ. 36

7. Εγγεγραμμένος κύκλος, σχ. 37

Ο κύκλος του οποίου η περιφέρεια του p, εφάπτεται και των τριών ευθειών που ορίζονται από τις πλευρές a, b, c είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος.

σχ. 37

8. Περιγεγραμμένος κύκλος, σχ. 37
Ο κύκλος του οποίου η περιφέρειά του p’, διέρχεται από τα σημεία τομής A₁,B₁,C₁ των ευθειών E₁,E₂,E₃ οι οποίες ορίζονται αντιστοίχως από τις πλευρές a, b, c είναι ο περιγεγραμμένος κύκλος.

9. Παρεγγεγραμμένος κύκλος, σχ. 37

1. Ο κύκλος του οποίου η περιφέρεια του p’’, εφάπτεται της ευθείας Ε₁ που ορίζεται από την πλευρά a και οι ευθείες Ε₂ και Ε₃ είναι εξωτερικές εφαπτόμενες αυτής, είναι ο παρεγγραμμένος κύκλος της πλευράς a.
2. Αντίστοιχα, το ίδιο ισχύει και για τον παρεγγεγραμμένο κύκλο της πλευράς b και της πλευράς c.

ΑΞΙΟΛΟΓΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε παραπάνω, ένα γενικευμένο τρίγωνο ABC, είναι:
1. a. Ορθογώνιο, όταν η μία γωνία του είναι ορθή.
   b. Ισόπλευρο, όταν και οι τρεις πλευρές του a, b, c είναι ίσες ήτοι a = b = c.
   c. Ισοσκελές, όταν έχει δύο πλευρές ίσες.

2. Όπως είναι γνωστό, στην Ευκλείδεια Γεωμετρία ένα τρίγωνο ABC, έχει τρεις πλευρές, τρία ύψη, τρεις διαμέσους, τρεις διχοτόμους κ.λ.π.
Αντίθετα στα γενικευμένα τρίγωνα ABC αυτό δεν ισχύει πάντοτε και μπορεί να έχουμε περισσότερες από τρεις πλευρές, ύψη, διαμέσους, διχοτόμους, κ.λ.π.

3. Στην Ευκλείδειο Γεωμετρία, σε ένα τρίγωνο ABC το εμβαδόν του Ε είναι πάντοτε θετικός αριθμός διάφορος του μηδενός, E0.
Αντίθετα στα γενικευμένα τρίγωνα αυτό δεν ισχύει πάντοτε και μπορεί να έχουμε ένα γενικευμένο τρίγωνο ABC του οποίου οι πλευρές του να είναι όλες μηδέν, ήτοι a = b = c = 0 και το εμβαδόν του να είναι διάφορο του μηδενός, Ε > 0, (π.χ. τρεις περιφέρειες κύκλων A, B, C οι οποίες εφάπτονται εξωτερικώς).

4. Τα διάφορα θεωρήματα, πορίσματα, ιδιότητες κ.λ.π. που ισχύουν σε ένα ευκλείδειο τρίγωνο ABC , είναι μερική περίπτωση των αντιστοίχων θεωρημάτων, πορισμάτων, ιδιοτήτων, κ.λ.π. που ισχύουν σε ένα γενικευμένο τρίγωνο ABC.
Δηλαδή, τα θεωρήματα, πορίσματα, ιδιότητες κ.λ.π. που ισχύουν σε ένα γενικευμένο τρίγωνο ABC, εάν οι κορυφές A, B, C του γενικευμένου τριγώνου ABC γίνουν σημεία (δηλ. μονομελή σημειοσύνολα), τότε προκύπτουν αμέσως τα αντίστοιχα θεωρήματα, πορίσματα, ιδιότητες, κ.λ.π. των γνωστών ευκλείδειων τριγώνων.

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΠΟΛΥΠΛΕΥΡΑ

Διαγώνιος: Η απόσταση μεταξύ δύο μη διαδοχικών πλευρών είναι η αντίστοιχη διαγώνιος του Γενικευμένου πολυπλεύρου. Στο σχ. 38, βλέπουμε τις διαγώνιες, ενός τετραπλεύρου. ABCD και ενός πενταπλεύρου ABCDE.

σχ. 38

ΙΣΟΤΗΤΑ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

Ορισμός: Δυο γενικευμένα ευθύγραμμα σχήματα (τρίγωνα, τετράπλευρα, κ.λ.π.) είναι ίσα, όταν το ένα τιθέμενο επί του άλλου, όλα τα στοιχεία τους ταυτίζονται ένα προς ένα.

ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

Ορισμός: Δύο γενικευμένα ευθύγραμμα σχήματα (τρίγωνα, τετράπλευρα, κ.λ.π.) είναι όμοια, όταν όλα τα γεωμετρικά στοιχεία του ενός είναι όμοια προς τα αντίστοιχα γεωμετρικά στοιχεία του άλλου και οι αντίστοιχες γωνίες τους, είναι ίσες μεταξύ τους.

ΑΝΑΓΩΓΑ ΚΑΙ ΜΗ ΑΝΑΓΩΓΑ ΣΗΜΕΙΟΣΥΝΟΛΑ

Ορισμός: Ένα οποιοδήποτε σημειοσύνολο Α του επιπέδου θα το ονομάζουμε ανάγωγο, όταν δεν υπάρχει κανένα σημείο Μ του επιπέδου από το οποίο μπορούμε να φέρουμε παράλληλο προς το σημειοσύνολο Α.
Στο σχ. 39 βλέπουμε διάφορα ανάγωγα σημειοσύνολα Α.

σχ. 39

Ορισμός: Ένα οποιοδήποτε σημειοσύνολο Α του επιπέδου θα το ονομάζουμε μη – ανάγωγο, όταν υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ του επιπέδου από το οποίο μπορούμε να φέρουμε παράλληλο προς το σημειοσύνολο Α.
Στο σχ. 40 βλέπουμε διάφορα μη – ανάγωγα σημειοσύνολα Α.

σχ. 40

ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

Ορισμός: Στο επίπεδο την κλειστή παράλληλο C_o που φέρεται από ένα σημείο Μ το οποίο βρίσκεται εκτός, ενός ευθυγράμμου ευκλείδειου σχήματος D_o θα την ονομάζουμε, παράλληλο γενικευμένο σχήμα C_o του σχήματος D_o.
Στο σχ. 41, βλέπουμε διάφορα παράλληλα γενικευμένα σχήμα C_o των ευκλείδειων σχημάτων D_o.

σχ. 41

Ορισμός: Οι κορυφές ενός γενικευμένου παράλληλου σχήματος C_o, είναι τα καμπύλα τμήματα της κλειστής παραλλήλου C_o, τα οποία αντιστοιχούν στις κορυφές του ευκλείδειου ευθυγράμμου σχήματος D_o, π.χ. τα τόξα A’,B’,C’ είναι οι κορυφές του παράλληλου γενικευμένου τριγώνου A’B’C’, κ.λ.π.
Τα παράλληλα γενικευμένα σχήματα παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στη Γενικευμένη Γεωμετρία.
Έτσι π.χ. στα γενικευμένα τρίγωνα A’B’C’, (C_o) του σχ. 41, βρίσκοντας όλα τα γεωμετρικά του στοιχεία) π.χ. πλευρές, ύψη, διαμέσους, κ.λ.π.) τα συγκρίνουμε με τα αντίστοιχα γεωμετρικά στοιχεία του ευκλείδειου τριγώνου ABC, (D_o ) και βρίσκουμε τις μεταξύ τους σχέσεις.
Στο σημείο αυτό μπορούμε να πούμε ότι, τα παράλληλα γενικευμένα σχήματα, είναι η «γέφυρα» μεταξύ της Ευκλειδείου και της Γενικευμένης Γεωμετρίας.
Τέλος, στα παράλληλα γενικευμένα σχήματα, μπορούμε να διατυπώσουμε διάφορα ενδιαφέροντα θεωρήματα, πορίσματα, ιδιότητες, κ.λ.π.

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ

Αντίστοιχα με αυτά που αναφέραμε για την Γενικευμένη Γεωμετρία του επιπέδου, ισχύουν και για το χώρο.
Έτσι π.χ. το κέντρο Α μιας σφαίρας και η επιφάνεια της Β, είναι παράλληλα σημειοσύνολα, σχ. 41 (a).
Επίσης, η επιφάνεια Β μιας «κάψουλας» και ο άξονας της Β, είναι παράλληλα σημειοσύνολα, σχ. 41 (a).
Ομοίως, ο άξονας Α ενός κυλίνδρου και η επιφάνεια του Β, σχ. 41 (a).

σχ. 41 (a)

Επίσης, στο σχ. 41 (b) βλέπουμε διάφορα γενικευμένα τρίγωνα ABC του χώρου.

σχ. 41 (b)

ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφέρουμε μερικά παραδείγματα για να δώσουμε τον τρόπο, με τον οποίο συνδυάζεται η Αναλυτική με τη Γενικευμένη Γεωμετρία.
Ο τομέας αυτός, έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον, διότι μπορούμε να διατυπώσουμε διάφορα αξιόλογα θεωρήματα, πορίσματα, κ.λ.π. Προφανώς, ο τομέας αυτός αποτελεί αντικείμενο ευρύτερης μαθηματικής έρευνας.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

1. Στο σύστημα συντεταγμένων δίδονται:
   Ο κύκλος A : x² + y² =4²
   Η παραβολή B : y=10x²
   Το σημείο C : (15,0)
   Ζητείται να βρεθούν οι πλευρές και τα ύψη του γενικευμένου τριγώνου ABC.
2. Στον άξονα xx’ των πραγματικών αριθμών να βρεθούν οι πλευρές και οι διάμεσοι του γενικευμένου τριγώνου ABC, το οποίο έχει κορυφές τα σημειοσύνολα:
   A : (-,-2]
   B : [3,8]
   C : [10,+ ]
3. Στο σύστημα συντεταγμένων xoy, δίδεται η έλλειψη:
   
   με εστίες Β και C.
   Στο γενικευμένο τρίγωνο ABC να βρεθούν οι πλευρές του a, b, c και το εμβαδόν Ε.
4. Στον άξονα xx’ των πραγματικών αριθμών δίδονται:
   Α: Το σύνολο των όρων της ακολουθίας,
   Β: Το σύνολο των όρων της ακολουθίας,
   C: Το σύνολο των όρων της ακολουθίας,
   Ζητείται στο γενικευμένο τρίγωνο ABC να βρεθούν οι πλευρές του.
5. Στο σύστημα συντεταγμένων xoy, δίδεται η εξίσωση:

Στο γενικευμένο τρίγωνο ABC να βρεθούν οι διάμεσοι του, όπου x₁, x₂ είναι οι ρίζες της δοθείσας εξίσωσης (1).

6. Στο μιγαδικό επίπεδο, ένα γενικευμένο τρίγωνο ABC έχει κορυφές:

Α = 5 + 3i
Β = 5 + 8i
C = 5 – 10i

Ζητείται να βρεθούν οι διάμεσοι του.

7. Στο σύστημα συντεταγμένων xoy δίδονται οι ευθείες:

Στο γενικευμένο τρίγωνο ABC να βρεθούν οι πλευρές του a, b, c και το εμβαδόν του Ε.

Β. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΜΗ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΩΝ ΧΩΡΩΝ

Στη Γενικευμένη Γεωμετρία, των μη Ευκλείδειων χώρων η συλλογιστική, είναι η ίδια με αυτή των Ευκλείδειων χώρων που αναφέραμε στα προηγούμενα κεφάλαια.
Έτσι π.χ. επάνω σε μια επιφάνεια, μπορούμε να έχουμε παραλλήλους, γενικευμένα τρίγωνα, κ.λ.π. τα οποία έχουν πλευρές, ύψη, διαμέσους, κ.λ.π.
Στο σχ. 42 βλέπουμε διάφορα γενικευμένα τρίγωνα ABC επάνω σε διάφορες επιφάνειες (S).

σχ. 42

προφανώς οι πλευρές a, b, c των γενικευμένων τριγώνων ABC είναι οι γεωδαισιακές γραμμές που ενώνουν τις κορυφές A, B, C μεταξύ τους.

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΧΩΡΟΙ

Α. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΙ ΧΩΡΟΙ

1. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΙ ΧΩΡΟΙ ΤΥΠΟΥ G_E,I.
Ας υποθέσουμε σχ. 43 ότι, έχουμε ένα Ευκλείδειο μετρικό χώρο δύο διαστάσεων π.χ. το επίπεδο (Ε), το οποίο θεωρούμε ευθειογενές.

σχ. 43

Θεωρούμε τώρα ένα γενικευμένο τρίγωνο ABC του οποίου οι κορυφές του A, B, C είναι τρεις τυχαίες παράλληλες ευθείες A, B, C του επιπέδου (Ε).
Σύμφωνα με τα γνωστά, οι πλευρές του γενικευμένου τριγώνου ABC είναι a, b, c.
Όπως παρατηρούμε στο σχ. 43, από το σύνολο S των γενικευμένων τριγώνων A_iB_iC_i , (i = 1, 2, 3, …) από τα οποία αποτελείται το επίπεδο (Ε), οποιαδήποτε και να είναι μεταξύ τους η θέση των κορυφών A, B, C σε όλα τα γενικευμένα αυτά τρίγωνα, η κάθε μία από τις τρεις πλευρές τους είναι πάντοτε μικρότερη ή ίση του αθροίσματος των δύο άλλων πλευρών του.
Έτσι π.χ. στο σχ. 43 για το γενικευμένο τρίγωνο ABC, είναι

Στην περίπτωση λοιπόν αυτή, σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε παραπάνω θα λέμε ότι, ο Ευκλείδειος χώρος (Ε) σχ. 43 είναι ένας Γενικευμένος Ευκλείδειος χώρος δύο διαστάσεων τύπου G_E,I , του οποίου τα στοιχεία του, είναι οι παράλληλες ευθείες A_iB_iC_i .
Μετά από αυτά που αναφέραμε παραπάνω, καταλήγουμε στο παρακάτω βασικό ορισμό:
ΟΡΙΣΜΟΣ: Δια μια δεδομένη διαμέριση Δ, ένας ευκλείδειος χώρος n διαστάσεων θα ονομάζεται, Γενικευμένος Ευκλείδειος χώρος n διαστάσεων τύπου G_E,I , τότε και μόνο τότε, όταν για κάθε γενικευμένο τρίγωνο A_iB_iC_i (i = 1, 2, 3,…) του οποίου οι κορυφές του A_{i ,}B_{i ,}C_i είναι στοιχεία της διαμέρισης Δ, η κάθε μία από τις τρεις πλευρές του, είναι μικρότερη ή ίση του αθροίσματος των δύο άλλων πλευρών του.

Στα παρακάτω σχήματα, βλέπουμε διάφορους Γενικευμένους Ευκλείδειους χώρους δύο διαστάσεων, τύπου G_E,I, με την αντίστοιχη διαμέριση τους Δ.

σχ. 44

2. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΙ ΧΩΡΟΙ, ΤΥΠΟΥ G_E,II

Ας υποθέσουμε σχ. 45 ότι, έχουμε ένα Ευκλείδειο μετρικό χώρο δύο διαστάσεων, π.χ. το επίπεδο (Ε).

σχ. 45

Διαμερίζουμε το επίπεδο (Ε) με παράλληλες ζώνες π.χ. του αυτού πλάτους d.
Λαμβάνουμε τώρα ένα τυχαίο γενικευμένο τρίγωνο ABC του οποίου οι κορυφές του A, B, C είναι αντιστοίχως τρεις από τις παράλληλες αυτές ζώνες.
Όπως παρατηρούμε στο σχ. 45, από το σύνολο S των γενικευμένων τριγώνων A_iB_iC_i, (i = 1, 2, 3,…) από τα οποία αποτελείται το επίπεδο (Ε), οποιαδήποτε και να είναι μεταξύ τους η θέση των κορυφών A, B, C σε όλα αυτά τα γενικευμένα, από τις τρεις πλευρές του η μία μόνο πλευρά τους, είναι πάντοτε, μεγαλύτερη του αθροίσματος των δύο άλλων πλευρών του.
Έτσι π.χ. στο σχ. 45 για το γενικευμένο τρίγωνο ABC, είναι:

Στην περίπτωση αυτή, σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε παραπάνω θα λέμε ότι, ο Ευκλείδειος χώρος (Ε), σχ. 45 είναι ένας γενικευμένος Ευκλείδειος χώρος δύο δυο διαστάσεων τύπου G_E,II, του οποίου τα στοιχεία του είναι οι παράλληλες ζώνες A_{i ,}B_{i ,}C_i .
Μετά από αυτά που αναφέραμε παραπάνω, καταλήγουμε στο παρακάτω βασικό ορισμό:
ΟΡΙΣΜΟΣ: Δια μια δεδομένη διαμέριση Δ, ένας Ευκλείδειος χώρος n διαστάσεων θα ονομάζεται Γενικευμένος Ευκλείδειος χώρος n διαστάσεων τύπου G_E,II, τότε και μόνο τότε, όταν για κάθε γενικευμένο τρίγωνο A_iB_iC_i, (i= 1, 2, 3, …) του οποίου οι κορυφές A_i, B_i, C_i είναι στοιχεία της διαμέρισης Δ, η μία μόνο πλευρά του, είναι μεγαλύτερη του αθροίσματος των δύο άλλων πλευρών του.
Στα παρακάτω σχήματα, βλέπουμε διάφορους Γενικευμένους Ευκλείδειους χώρους δύο διαστάσεων τύπου G_E,II, με την αντίστοιχη διαμέριση τους Δ, (με ζώνες πλάτους d).

σχ. 46

Β. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΧΩΡΟΙ RIEMANN

1. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΧΩΡΟΙ RIEMANN, ΤΥΠΟΙ G_R,I
Με την ίδια συλλογιστική που εργάσθηκε παραπάνω για τους Γενικευμένους Ευκλείδειους χώρους δύο διαστάσεων, εργαζόμαστε και για τους Γενικευμένους χώρους Riemann δύο διαστάσεων. Ένα απλό παράδειγμα είναι το εξής:
Θεωρούμε σχ. 47 την επιφάνεια S μιας σφαίρας την οποία διαμερίζουμε με παράλληλους κύκλους.
Λαμβάνουμε τώρα, ένα τυχαίο γενικευμένο τρίγωνο ABC του οποίου οι κορυφές του A, B, C είναι αντιστοίχως, τρεις από τους παραπάνω αυτούς κύκλους.
Όπως παρατηρούμε στο σχ. 47 από το σύνολο P των γενικευμένων τριγώνων A_iB_iC_i, (i = 1, 2, 3,…) από τα οποία αποτελείται η επιφάνεια S της σφαίρας, οποιαδήποτε και να είναι μεταξύ τους η θέση των κορυφών A, B, C σε όλα αυτά τα γενικευμένα τρίγωνα η κάθε μία από τις τρεις πλευρές τους, είναι πάντοτε μικρότερη η ίση του αθροίσματος των δύο άλλων πλευρών του.
Έτσι π.χ. στο σχ. 47 για το σφαιρικό γενικευμένο τρίγωνο ABC, είναι:

Στην περίπτωση αυτή θα λέμε ότι, ο χώρος Riemann δυο διαστάσεων (δηλαδή, η επιφάνεια S της σφαίρας) σχ. 47 είναι ένας γενικευμένος χώρος Riemann δύο διαστάσεων τύπου G_R,I του οποίου τα στοιχεία του, είναι οι παράλληλοι κύκλοι. A_iB_iC_i .

σχ. 47

Μετά από αυτά που αναφέραμε παραπάνω καταλήγουμε στο παρακάτω βασικό ορισμό:
ΟΡΙΣΜΟΣ: Δια μια δεδομένη διαμέριση Δ, ένας χώρος Riemann n διαστάσεων θα ονομάζεται Γενικευμένος χώρος Riemann n διαστάσεων τύπου G_R,I , τότε και μόνο τότε, όταν για κάθε γενικευμένο τρίγωνο A_iB_iC_i, (i = 1, 2, 3,…) του οποίου οι κορυφές του A_{i ,}B_{i ,}C_i είναι στοιχεία της διαμέρισης Δ, η κάθε μία από τις τρεις πλευρές του είναι, μικρότερη ή ίση του αθροίσματος των δύο άλλων πλευρών του.
Στο παρακάτω σχ. 48 βλέπουμε διαφόρους γενικευμένους χώρους Riemann δύο διαστάσεων τύπου G_R,I, επάνω σε διάφορες επιφάνειες.

σχ. 48

2. ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟΙ ΧΩΡΟΙ RIEMANN, ΤΥΠΟΥ G_R,II
Ας υποθέσουμε σχ. 49 ότι, έχουμε χώρο Riemann δύο διαστάσεων π.χ. την επιφάνεια (S) μιας σφαίρας.

σχ. 49

Διαμερίζουμε την επιφάνεια (S) με παράλληλες ζώνες π.χ. του αυτού πλάτους d.
Λαμβάνουμε τώρα, ένα τυχαίο γενικευμένο τρίγωνο ABC του οποίου οι κορυφές του A, B, C, είναι αντιστοίχως τρεις από τις παράλληλες αυτές ζώνες.
Όπως παρατηρούμε στο σχ. 49 από το σύνολο S των γενικευμένων τριγώνων A_iB_iC_i, (i = 1, 2, 3,…) από τα οποία αποτελείται η επιφάνεια (S), οποιαδήποτε και να είναι μεταξύ τους η θέση των κορυφών A, B, C σε όλα τα γενικευμένα αυτά τρίγωνα, η μια μόνο πλευρά τους, είναι μεγαλύτερη του αθροίσματος των δυο άλλων πλευρών του.
Έτσι π.χ. στο σχ. 49 για το γενικευμένο τρίγωνο, ABC είναι:

Στη περίπτωση αυτή σύμφωνα με αυτά που αναφέραμε παραπάνω θα λέμε ότι, ο χώρος Riemann (S), σχ. 49 είναι ένας Γενικευμένος χώρος Riemann δύο διαστάσεων, τύπου G_R,II του οποίου τα στοιχεία του είναι οι παράλληλες ζώνες A_{i ,}B_{i ,}C_i .
Μετά από αυτά που αναφέραμε παραπάνω, καταλήγουμε στο παρακάτω βασικό ορισμό:
ΟΡΙΣΜΟΣ: Δια μια δεδομένη διαμέριση Δ, ένας χώρος Riemann n διαστάσεων θα ονομάζεται, Γενικευμένος χώρος Riemann n διαστάσεων, τύπου G_R,II τότε και μόνο τότε, όταν για κάθε γενικευμένο τρίγωνο A_iB_iC_i, (i = 1, 2, 3, …) του οποίου οι κορυφές του A_{i ,}B_{i ,}C_i , είναι στοιχεία της διαμέρισης Δ, η μία μόνο πλευρά του είναι μεγαλύτερη του αθροίσματος των δύο άλλων πλευρών του.
Στο παρακάτω σχ. 50 βλέπουμε διάφορους Γενικευμένους χώρους Riemann δύο διαστάσεων, τύπου G_R,II, επάνω σε διάφορες επιφάνειες.

σχ. 50

ΑΞΙΟΛΟΓΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ

Όπως είναι φανερό, ο τομέας αυτός των Μαθηματικών, ήτοι:

1. Των Γενικευμένων Ευκλείδειων χώρων, τύπου G_E,I, και G_E,II, και
2. Των Γενικευμένων χώρων Riemann, τύπου G_R,I, και G_R,II, αποτελεί αντικείμενο, ευρείας μαθηματικής έρευνας από την οποία, μπορούν να προκύψουν πολύ ενδιαφέροντα μαθηματικά συμπεράσματα.

ΕΠΙΛΟΓΟΣ

Η Γενικευμένη Γεωμετρία που αναπτύξαμε στα προηγούμενα κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία» Στα προηγούμενα κεφάλαια, δώσαμε τις βασικές αρχές και τον τρόπο συλλογιστικής του νέου αυτού τομέα των Μαθηματικών.
Όπως εύκολα αντιλαμβάνεται ο αναγνώστης, το πεδίο έρευνας της Γενικευμένης Γεωμετρίας, είναι πάρα πολύ μεγάλο, όπου μπορούμε να διατυπώσουμε νέα Θεωρήματα, πορίσματα, ορισμούς, ιδιότητες, συμπεράσματα, κ.λ.π.
Στη φάση αυτή, η Γενικευμένη Γεωμετρία βρίσκεται ακόμη στην «αρχή του δρόμου».
Όμως, ο χρόνος θα δείξει, ποια θα είναι η συμβολή της Γενικευμένης Γεωμετρίας στην εξέλιξη της Μαθηματικής επιστήμης.

Copyright 2007: Christos A. Tsolkas                          Χρήστος Α. Τσόλκας
                                                                                             Ιούνιος 2007

©  Copyright 2001 Tsolkas Christos.  Web design by Wirenet Communications