Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΗΣ
ΠΑΓΚΟΣΜΙΑΣ ΕΛΞΗΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ

Περίληψη

Όπως είναι γνωστό, ο Tycho Brahe έκανε πολλές σημαντικές και ενδιαφέρουσες, αστρονομικές παρατηρήσεις.
Ο Kepler, βασιζόμενος στις αστρονομικές παρατηρήσεις του Tycho Brahe, διατύπωσε τους τρεις γνωστούς νόμους του (Νόμοι του Kepler).
Στη συνέχεια ο Νεύτων, μελετώντας στους τρεις νόμους του Kepler, διατύπωσε το γνωστό νόμο της παγκόσμιας έλξης των σωμάτων.
Επειδή όμως, η Κλασική Φυσική είναι θεμελιωμένη στα γνωστά αξιώματα του Νεύτωνα θα έπρεπε (κανονικά) ο νόμος της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα να αποδεικνύεται μαθηματικώς με βάση τα αξιώματα αυτά, τα οποία διατύπωσε ο ίδιος ο Νεύτων. Όμως, η παραπάνω αυτή μαθηματική απόδειξη δεν διατυπώθηκε ποτέ μέχρι σήμερα, με αποτέλεσμα ο νόμος της παγκόσμιας έλξης, παρέμεινε στην ουσία ένας «εξωγενής» νόμος, αποσυνδεδεμένος (δηλαδή, «έξω» από την αξιωματική θεμελίωση της Νευτώνειας Μηχανικής) χωρίς να απορρέει μαθηματικώς από αυτή.

Αντικείμενο λοιπόν της εργασίας μας αυτής, είναι η μαθηματική απόδειξη του νόμου της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα με βάση τα γνωστά αξιώματα της Κλασικής Φυσικής, όπως τα διατύπωσε, ο ίδιος ο Νεύτων.

Ο βασικός νόμος σε ένα σύστημα δυο σωμάτων

Ας υποθέσουμε σχ. 1, ότι έχουμε δυο σημειακές μάζες m₁ και m₂ (π.χ. m₁>m₂) οι οποίες κατά τη χρονική στιγμή t=0 είναι ακίνητες και απέχουν μεταξύ τους, απόσταση R.
Αφήνουμε τώρα τις δύο μάζες m₁ και m₂ να κινηθούν ελεύθερα υπό την επίδραση της δύναμης της παγκόσμιας έλξης, η οποία ασκείται μεταξύ τους.

σχ. 1

Στη περίπτωση αυτή σε χρόνο dt (από την έναρξη t=0 της κινήσεώς τους) η μάζα m₁ έλκεται από τη μάζα m₂ με μια δύναμη F και διανύει ένα διάστημα dR_A.
Το μέτρο της δύναμης F, είναι:

Ομοίως, η μάζα m₂ έλκεται από τη μάζα m₁ με μια δύναμη F΄ και διανύει ένα διάστημα dR_B.
Το μέτρο της δύναμης F΄, είναι:

Σύμφωνα όμως, με το αξίωμα της (δράσης – αντίδρασης) του Νεύτωνα οι δύο δυνάμεις F και F΄ είναι ίσες (κατά μέτρο), ήτοι είναι:

F = F΄ (3)

Συνεπώς από τις σχέσεις (1), (2), (3) έχουμε:

Ολοκληρώνοντας τη σχέση (4), έχουμε:

όπου, C₁ = σταθερά ολοκλήρωσης.
Επειδή όμως, στις αρχικές συνθήκες, ήτοι στο χρόνο t = 0 είναι:

με βάση τις σχέσεις (6) η σχέση (5) μας δίδει:

C₁ = 0 (7)

Έτσι, από τις σχέσεις (7) και (5), έχουμε:

Συνεπώς, από τη σχέση (8) είναι:

Στη συνέχεια, ολοκληρώνοντας τη σχέση (9), (και για χρόνο t > 0) όπου, R_A=f₁(t) και R_Β=f₂(t), έχουμε:

όπου, σύμφωνα με το σχ. 1 στη σχέση (10) είναι: R₁ ≤ r₁, R₂ ≤ r₂ και O΄ είναι, το κέντρο μάζας των δύο μαζών m₁ και m₂.

Έτσι λοιπόν, με βάση τη σχέση (10) μπορούμε τώρα να διατυπώσουμε το παρακάτω βασικό νόμο, ο οποίος έχει ως εξής:

Ο νόμος αυτός που αναφέραμε παραπάνω, παίζει πολύ σημαντικό ρόλο στην απόδειξη του νόμου της παγκόσμιας έλξης, όπως θα δούμε αμέσως στη συνέχεια.

Η απόδειξη του νόμου της παγκόσμιας έλξης

Μετά από αυτά που αναφέραμε στα προηγούμενα θα αποδείξουμε τώρα, το νόμο της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα.
Η απόδειξη λοιπόν αυτή σε (3) βήματα έχει, ως εξής:

Απόδειξη

Βήμα 1^ο: (Η κίνηση των μαζών m₁ και m₂, πριν τη συνάντησή τους)
Σύμφωνα με το παραπάνω βασικό νόμο, έχουμε:

m₁R₁=m₂R₂

Από τη σχέση (13), είναι:

Επίσης, από τη σχέση (13), έχουμε:

Επειδή όμως, σύμφωνα με το σχ. 1, είναι:

με βάση τη σχέση (16) οι σχέσεις (14) και (15) μας δίδουν:

Βήμα 2^ο: (Η συνάντηση των μαζών m₁ και m₂)
Στη συνέχεια, εργαζόμαστε ως εξής:
Ας υποθέσουμε σχ. 1, ότι μετά από ένα χρόνο t_c (t_c > 0) από την έναρξη t=0 της κινήσεως τους, οι δυο μάζες m₁ και m₂ θα συναντηθούν στο σημείο Ο.
Στη περίπτωση αυτή με βάση το σχ. 1, είναι:

R₀=0 (18)

Συνεπώς, με βάση τη σχέση (18) οι σχέσεις (17) μας δίδουν:

Σημείωση: Τις σχέσεις (19) θα τις ονομάζουμε, σχέσεις συνάντησης ή σχέσεις μηδενικής απόστασης των δύο μαζών m₁ και m₂ .

Από τη πρώτη και τη δεύτερη των σχέσεων (19), έχουμε αντιστοίχως:

Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη τις σχέσεις (20), έχουμε:

Θέτοντας τώρα:

(όπου, ρ = θετικός αριθμός) η σχέση (21) μας δίδει:

Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη της σχέσης (23) επί τον σταθερό, θετικό αριθμό:

έχουμε:

Ορισμοί: 1) Στη σχέση (25) το πρώτο μέλος, ήτοι:

το ορίζουμε, ως δύναμη F (δράση) που ασκεί η μάζα m₂ επάνω στη μάζα m₁.
Εξ ορισμού στο πρόβλημά μας, σύμφωνα με τη σχέση (26) ο αριθμητής της δράσης F θα λαμβάνεται πάντοτε:

m₁m₂ (27)

και ο παρονομαστής θα λαμβάνεται πάντοτε:

λR² (28)

2) Επίσης, στη σχέση (25) το δεύτερο μέλος, ήτοι:

το ορίζουμε, ως δύναμη F΄ (αντίδραση) που ασκεί η μάζα m₁ επάνω στη μάζα m₂.
Εξ ορισμού στο πρόβλημά μας, σύμφωνα με τη σχέση (29) ο αριθμητής της δράσης F΄ θα λαμβάνεται πάντοτε η μονάδα, ήτοι:

το:  1 (30)

και ο παρονομαστής θα λαμβάνεται πάντοτε:

λ ^. ρ^{2 .} R₁R₂ (31)

Σημείωση: Στις σχέσεις (26) και (29) ο σταθερός θετικός αριθμός είναι μία φυσική σταθερά, η οποία εξαρτάται από τις μονάδες.

Βήμα 3^ο: (Οι σχέσεις του κέντρου μάζας των μαζών m₁ και m₂)
Σύμφωνα με τους ορισμούς και τη σχέση (26) που αναφέραμε παραπάνω, το μέτρο της δύναμης F (δράσης), είναι:

Επίσης, σύμφωνα με τους ορισμούς και τη σχέση (29) το μέτρο της δύναμης F΄ (αντίδρασης), είναι:

Στη συνέχεια θα αποδείξουμε, ότι:
Οι δυνάμεις F΄ (αντίδραση) και F (δράσης) έχουν κοινό μέτρο, ήτοι είναι:

Η απόδειξη λοιπόν αυτή, έχει ως εξής:
Όπως είναι γνωστό, το κέντρο μάζας Ο΄ των δύο μαζών m₁ και m₂, σχ. 1 δίδεται από τις σχέσεις:

Σημείωση: Τις σχέσεις (33) θα τις ονομάζουμε, σχέσεις του κέντρου μάζας Ο΄ των δύο μαζών m₁ και m₂ .
Οι σχέσεις (33), παίζουν βασικό ρόλο στην απόδειξη του προβλήματός μας.
Όπως παρατηρούμε, από τις σχέσεις (33) και (19) προκύπτει:

Συνεπώς, από τις σχέσεις (34) προκύπτει, ότι:
Το σημείο Ο στο οποίο συναντώνται οι δύο μάζες m₁ και m₂ μετά από ένα χρόνο t_c (t_c>0) από την έναρξη t=0 της κινήσεώς τους, συμπίπτει (ταυτίζεται) με το κέντρο μάζας Ο΄ των δύο μαζών m₁ και m₂, ήτοι είναι:

Δηλαδή, με απλά λόγια οι δύο μάζες m₁ και m₂ συναντώνται στο κέντρο μάζας τους Ο΄.
Συνεπώς, με βάση τις σχέσεις (34) οι σχέσεις (33) του κέντρου μάζας Ο΄ των δύο μαζών m₁ και m₂, τελικώς γράφονται:

Αντικαθιστώντας τώρα στη σχέση (29) το ρ το οποίο δίδεται από τη σχέση (22) και τα R₁, R₂ που δίδονται από τις τελικές σχέσεις (36) του κέντρου μάζας Ο΄ των δύο μαζών m₁ και m₂, προκύπτει:

Από τις σχέσεις (37) και (26) προκύπτει, ότι:

Συνεπώς, αποδείχθηκε η σχέση (32.3).

Άρα:

Μετά από αυτά που αναφέραμε παραπάνω και με βάση τη σχέση (38) στην οποία καταλήξαμε, προκύπτει ότι:

1. Η δράση F, ισούται με την αντίδραση F΄ (F = F΄) σύμφωνα με το αξίωμα του Νεύτωνα. Αλλά όμως (και αυτό έχει πολύ μεγάλη σημασία) είναι, ότι:
2. Η δράση F και η αντίδραση F΄ έχουν κοινό μέτρο, το οποίο είναι:
   
   
   σύμφωνα με τη σχέση (38), που αναφέραμε παραπάνω.

Συνεπώς, μετά τα παραπάνω αποδείχθηκε ο νόμος της παγκόσμιας έλξης:

Στη σχέση (39) ο σταθερός θετικός αριθμός είναι προφανώς, η γνωστή σταθερά της παγκόσμιας έλξης G ( = G), οπότε  σχέση (39) τελικά, γράφεται:

Όπως παρατηρούμε, η σχέση (40) είναι ο γνωστός νόμος της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα, ο οποίος αποδείχθηκε με βάση τα γνωστά αξιώματα, όπως τα διατύπωσε ο ίδιος ο Νεύτων.

Τελειώνοντας θα πρέπει να τονίσουμε, ότι:
Όπως παρατηρούμε, η μαθηματική απόδειξη του νόμου της παγκόσμιας έλξης, με βάση τα αξιώματα του Νεύτωνα (την οποία αναπτύξαμε στην εργασία μας αυτή) βασίσθηκε σε δύο βάσεις, ήτοι:

a. Στη διατύπωση του βασικού νόμου m₁R₁=m₂R₂, και
b. Στις σχέσεις (33) του κέντρου μάζας O΄ των δύο μαζών m₁ και m₂.

Όλα τα υπόλοιπα είναι, μια μαθηματική επεξεργασία και συλλογιστική των παραπάνω δύο παραγράφων (a) και (b).

Συμπέρασμα

1. Ο νόμος της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα:

μπορεί εύκολα να αποδειχθεί μαθηματικώς, με βάση τα αξιώματα του Νεύτωνα της Κλασικής Φυσικής (όπως αναφέραμε στην εργασία μας αυτή).

2. Όμως, στο σημείο αυτό θα πρέπει να τονίσουμε, ότι:
 Ο νόμος της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα, ο οποίος ως γνωστό δίδεται από τη σχέση (41), σε καμία απολύτως περίπτωση δεν εκφράζει (ποιοτικώς και ποσοτικώς) τη φυσική πραγματικότητα.
 Αντίθετα, τη φυσική πραγματικότητα την εκφράζει ορθά, ο νόμος της παγκόσμιας έλξης της Ηλεκτροβαρυτικής Θεωρίας.
 (Βλέπε, «Η Ηλεκτροβαρυτική Θεωρία Ι» στο site, www.tsolkas.gr)

Copyright 2011: Christos A. Tsolkas

Χρήστος Α. Τσόλκας
8 Νοεμβρίου 2011

©  Copyright 2001 Tsolkas Christos.  Web design by Wirenet Communications